Medidas de tendencia central, posición y dispersión (Tema 8)

Hoy en el blog haremos un resumen numérico de una serie estadísticas. 

Además de las tablas y gráficos podemos resumir una serie de observaciones mediante “estadísticos”: “Función de los datos observados”.

Hay tres grandes tipos de medidas estadísticas:

-    Medidas de posición: dan idea de la magnitud, tamaño o posición de la observaciones de los datos una vez que están ordenados de menor a mayor.

-   Tendencia central: dan idea del comportamiento central mayoritario.

-  Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de nuestras observaciones. 

Por un lado, encontramos las medidas de tendencia central, en las cuales encontramos:

MEDIA ARITMÉTICA O MEDIA (VARIABLES CUANTITATIVAS)

Se calcula para variables cuantitativas y se trata del centro geométrico o de gravedad de nuestros datos. Es la suma de todos los valores de la variable observada entre el total de observaciones. 

               

Cuando los datos están agrupados, para calcular la media utilizamos como valor de referencia de cada intervalo su marca de clase: se calcula una media aritmética estimada que se calcula sumando la marca de clase por la frecuencia absoluta, entre N.

                x= Ʃm_cf_i/n (multiplicamos la marca de clase por la frecuencia absoluta y vamos sumndo, luego dividimos entre el numero de sujetos)

MEDIANA

Valor de la observación tal que deja a un 50% de los datos  menor y otro 50% de los datos mayor.

-          Si el número de observaciones es impar el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n+1/2) Ejemplo: si son 75, pues 76 entre 2 = 38, la mediana seria la edad que tiene el sujeto 38.

-          Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1. Ejemplo: cuatro sujetos de edades, 10, 15, 20, 25, cogemos los dos sujetos centrales y hacemos la media aritmética entre ambos.

Propiedad: robustez. Sólo tiene en cuenta la posición de los valores en la muestra y por tanto tiene mucho mejor comportamiento que la media cuando hay observaciones extremas.

MODA (VARIABLES CUALITATIVAS)

Valor con mayor frecuencia (que más veces se repite). Si se repiten dos números, es dimodal o mas números multimodal.

Si hay más de una se dice que la muestra es bimodal (dos modas) o multimodal (más de dos modas).

Se puede calcular para cualquier tipo de variable.

Si los datos están agrupados, se habla de clase modal y corresponde al intervalo en el que el cociente entre la frecuencia relativa y la amplitud es mayor (h_i/c_i). Donde la frecuencia absoluta sea mayor.

Por otro lado, encontramos las medidas de posición , en las que se presentan:

Cuantiles:

Se calculan para variables cuantitativas y, al igual que la mediana, sólo tienen en cuenta la posición de los valores en la muestra.

Los cuantiles más usuales son los percentiles, los deciles y los cuartiles, según dividan la muestra ordenada en 100, 10 ó 4 partes, respectivamente.

-          Percentiles:

o   Dividen la muestra ordenada en 100 partes.

o   El percentil “i” (P_i), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i% de ellas son menores que él y el (100-i)% restante son mayores.

o   Para buscar la posición de un percentil en una serie de datos agrupados, buscamos el intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (H_i) sea superior al valor del percentil.

o   El valor del P₅₀ corresponde al valor de la mediana.

-          Deciles:

o   Dividen la muestra ordenada en 10 partes.

o   El decil “i” (D_i), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i/10% de ellas son menores que él y el (100-i)/10% restante son mayores.

o   El valor del D₅ corresponde al valor de la mediana y, por tanto, al del P₅₀.

-          Cuartil:

o   Dividen la muestra ordenada en 4 partes.

o   El Q₁, primer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores.

o   El Q₂, segundo cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el Q₂ coincide con el valor del D₅, con el valor de la mediana P₅₀.

o   El Q₃, tercer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores.

o   El Q₄, cuarto cuartil indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica.

Por consiguiente, trataremos las medidas de dispersión, en la que la información aportada por las medidas de tendencia central es limitada. A raíz de aquí podemos encontrar:

Rango o recorrido: diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra lX_n-X₁l (valor absoluto).

Desviación media: media aritmética de las distancias de cada observación con respecto a la media de la muestra.

Varianza: expresa la misma información en valores cuadráticos:

Recorrido intercuartílico: diferencia entre el tercer y el primer cuartil = lQ₃-Q₁l

Coeficiente de variación: es una medida de dispersión relativa (adimensional) ya que todas las demás se expresan en la unidad de medida de la variable. Nos sirve para comparar la heterogeneidad de dos series numéricas con independencia de las unidades de medidas.

Por último, trataremos las distribuciones normales, que en estadísticas se llama distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. Es Distribución de probabilidad mas frecuente con variables continuas, por ejemplo, altura, peso, niveles de colesterol…

Las distribuciones normales en un histograma aparece una especie de Campana, por eso la campana de Gauss. Y es simétrica respecto de los valores de posición central, es decir que la moda va a coincidir con la media y la mediana.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de los valores posición central (media, mediana y moda, que coinciden en estas distribuciones). Es simetrica dejando la mitad de los valores por debajo del punto maximo y la mitad de los valores por encima.

Esta curva se conoce como campana de Gauss.Una distribución normal sigue estos principios básicos: si al valor de la media le restamos y le sumamos una desviación típica, si la serie numérica siguiera una distribución normal (como el colesterol). Dice que el 68.25% de las observaciones se va a sumar entre los valores de la suma y la resta de la media a una desviación típica. Estas datos varían si sumamos una, dos o tres desviaciones típicas.

-          S 68,26% de las observaciones.

-           2xS95,45% de las observaciones.

-           3xS 99,73% de las observaciones.

ASIMETRÍAS Y CURTOSIS

La asimetría es al lado contrario al que vemos el pico (la moda), es decir si vemos el pico hacia la derecha la asimetría es a la izquierda, y si la moda esta a la izquierda la asimetría esta hacia la derecha.

Coeficiente de asimetría de una variable:Grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media, cuanto mas asimétrica sea, valores mas diferentes encontraremos. Es adimensional 

Asimetrías:

Los resultados pueden ser los siguientes:

-          g1=0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media).

-          g1>0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores  a la derecha de la media que a su izquierda).

-          g1<0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha).

Curtosis o apuntamiento de la curva.

No tiene relación con la simetría. Coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable, sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno a su media. Los datos se acumulan mucho, mientras mas se acumulen, mas apuntada esta la curva.

Se elige como referencia una variable con distribución normal, de modo que para ella el coeficiente de curtosis es 0.

Los resultados pueden ser los siguientes:

-          g2=0 (distribución mesocúrtica o normal). Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). Presentan un grado de concentración medio a los  valores de la media.

-          g2>0 (distribución leptocúrtica). Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

-          g2<0 (distribución platicúrtica). Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

Para poder explicarlo de manera mas adecuada os adjunto un enlace explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=9-nRaVKs5No

 Espero que estos datos os resulten muy beneficiosos, ya vamos acabando el temario de Estadísticas!!